* Luis Maraví Zavaleta
LAS RUTAS DE APRENDIZAJE EN MATEMATICA: PROBLEMÁTICA Y ALTERNATIVAS
Prof. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I.E. Nº 80915 "Miguel Grau Seminario"
C. P. El Pallar, Huamachuco
La Libertad
El Perú tiene una amplia experiencia en materia curricular. Los esfuerzos por lograr altos grados de perfeccionamiento en la construcción de los sucesivos currículos no guardan relación con su pobre desarrollo y ejecución. Se ha puesto casi toda la energía en producir currículos y muy poco en lograr que sean comprendidos por los docentes, así como en la orientación sobre cómo implementarlos.
(Rivero, 2007, p. 183)
1. Introducción
En lo que va del presente año se han desarrollado diversas jornadas a lo largo del país, orientadas hacia las y los maestros para conocer la última propuesta del Ministerio de Educación: las Rutas de Aprendizaje. Un análisis del fundamento socio sicopedagógico general de esta iniciativa oficial lo encontramos en Rojas (2013). En el presente ensayo mostraremos las principales cuestiones problemáticas de la propuesta en el Area de Matemática y que, lamentablemente, de persistir, no aseguran el éxito. Así mismo, plantearemos algunas alternativas que superen el enfoque brindado por las Rutas de Aprendizaje en Matemática (RAM), alternativas que deseamos vincular al Modelo Emancipador para la Transformación que las y los trabajadores de la educación han propuesto para una Educación Pública científica y de calidad.
2. Sobre la relación entre la matemática y la vida real (o la sociedad)
En sus primeros apartados, el fascículo general de las RAM (Ministerio de Educación, 2013a), indica:
El problema es cuando la matemática que aprendemos resulta poco significativa, poco aplicable a la vida o simplemente aburrida, tanto que al dejar el colegio olvidamos lo que aprendimos y no seguimos aprendiendo por nuestra cuenta. (p. 6)
Más adelante continúa:
La matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real (…) Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de la vida y sus logros van hacia ella. (p. 7)
En ese orden de ideas, y para brindar más argumentos favorables hacia la adopción del enfoque de resolución de problemas, se cita un artículo del académico soviético A. N. Kolmogorov. Pues bien: veamos como definía este gran científico y pedagogo a la Matemática (Otero, 2006):
Matemática (…), la ciencia sobre las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real (…) El carácter abstracto de las matemáticas, sin embargo, no indica su separación de la realidad material. En relación indisoluble con las demandas de la tecnología y de la ciencia natural el volumen de relaciones cuantitativas y de formas espaciales estudiadas por las matemáticas crece continuamente, de manera que la determinación general de las matemáticas sea llenada por un contenido cada vez más rico. (p. 108)
A. N. Kolmogorov, quien dejó una prolífica obra matemática antes, durante y después de la Gran Guerra Patria de la Unión Soviética contra el fascismo alemán y que junto con el académico I. K. Kikoin fundó una célebre escuela especializada en física y matemáticas que hasta hoy existe en Moscú, sobre cuyos rasgos didácticos y otros aspectos de su fecunda biografía se puede consultar en (Sánchez y Valdés, 2004), precisó también lo siguiente (Otero, 2006):
Los principios de la geometría aritmética y elemental (…) surgieron de las demandas directas de la práctica (…) Sin embargo, las conexiones directas de las matemáticas con la tecnología dependen con más frecuencia del uso de las teorías matemáticas ya creadas para los problemas técnicos. (p. 111. Subrayado del autor de este trabajo)
¿Tiene sentido que el autor del fascículo culpe veladamente a las y los maestros, a la escuela en suma, de una matemática aburrida y olvidable? No, no lo tiene: no existe Proyecto Nacional de Desarrollo que oriente e implemente el desarrollo científico y técnico del país, lo que ocasiona la inexistencia de una atmósfera propicia para que todas las niñas, niños y adolescentes pongan sus aspiraciones personales en ese campo de la actividad humana. ¿Las y los maestros van a continuar utilizando en toda ocasión el referente material directo para trabajar la matemática en el aula, al margen de los avances de la ciencia que enseñan? Sin esa condición es muy probable que no se registre un adecuado desarrollo de capacidades (cualidades de la personalidad guiadas por el interés específico estable) (Petrovski, 1985). Corresponde pues a una muy urgente priorización nacional, tal como la antigua Unión Soviética, la patria de A. N. Kolmogorov, hacía. Esto permitió el desarrollo a amplísima escala de una pléyade matemáticos y científicos de muchas otras áreas, guiados por sucesivos y gloriosos sueños: derrotar al analfabetismo, industrializar al país, vencer al fascismo, dar de comer a la gente, conquistar el Cosmos, cibernetizar el país, desarrollar los deportes y las artes, etc. ¿O se va a emplear y aceptar "parcialmente" a A. N. Kolmogorov sin aprender de las circunstancias históricas y sociales altamente propicias en las que se desarrolló su genio, tal como se continúa haciendo con L. S. Vigotski?
Todo esto nos lleva a otro debate: ¿cuál es la correcta relación entre escuela y sociedad? ¿La escuela debe resolverle los problemas a la sociedad o debe preocuparse por mejorar continuamente el encargo que esta le da: preparar al hombre para la vida (Alvarez de Zayas, 2002)? Diferencia sutil. Definir la dinámica de la relación entre escuela y sociedad es importante para conceptualizar al "problema de la vida real" que debe ser estudiado en la clase de Matemática.
Así mismo, es necesario enfocar un concepto emergente a partir de la divulgación de las RAM. Circulan por la web diferentes conjuntos de diapositivas, elaboradas por instituciones de "capacitación" docente, donde se menciona a un presunto "enfoque historicista" como el fundamento de la propuesta oficial. En honor a la verdad, no se ha encontrado una referencia explícita a tal enfoque con esa denominación. ¿De qué se trata? "Lo histórico es la trayectoria de los cambios que experimenta el objeto, las etapas de su aparición y desarrollo. Viene a ser el objeto del pensamiento; y el reflejo de lo histórico, su contenido" (Kopnin, 1966, p. 185). En el campo didáctico, ¿es justo asignar el rótulo de historicista a una metodología centrada en la resolución de problemas solo porque se retoma una actividad central en el desarrollo histórico del conocimiento matemático? No: si se quiere ser integrales, se debería incluir la dinámica del proceso de construcción de la Matemática realizada por sus científicos, así como los productos obtenidos. Ya en el terreno del aula (distinto al de la investigación científica, pero con el que se pueden realizar conexiones), practicar el historicismo es más que todo lo anterior:
a) Un auténtico enfoque historicista precisaría las relaciones entre lo psicológico y lo lógico. La última categoría es "el medio (…) que refleja lo histórico en forma teórica, es decir, reproduce la esencia del objeto y la historia de su desarrollo en un sistema de abstracciones" (Kopnin, 1966, p. 185). Entre lo lógico y lo histórico se registra una serie de contradicciones producidas por la actividad cognoscitiva: no hay (ni puede haberla) coincidencia plena entre ambas categorías, pero hacia ella se han consagrado los esfuerzos de las mejores mentes de la Humanidad, arriesgando la vida inclusive en medio de regímenes opresivos y falsedades o prejuicios reaccionarios. En el proceso del aprendizaje humano, la relación entre lo histórico y lo lógico se concreta en la relación entre lo psicológico y lo lógico. Sobre ella, Petrovski (1985), aclara:
(…) el objeto de la lógica es la correlación entre los resultados cognoscitivos, entre los productos que surgen en el proceso del pensamiento. La psicología estudia las leyes por las que sucede el proceso racional y lleva a resultados cognoscitivos que satisfacen las exigencias de la lógica. La lógica y la psicología estudian la misma actividad cognoscitiva, pero desde diferentes aspectos, en distintas cualidades: la lógica preferentemente desde el punto de vista de los resultados (de los productos del pensamiento, conceptos, juicios y conclusiones) y la psicología desde el punto de vista del proceso (pp. 300 – 301).
¿Brindan las RAM los medios para que las y los maestros cualifiquen las habilidades de observación de estas relaciones? ¿Trazan las RAM los métodos para mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje desde el auténtico enfoque historicista?
b) Un verdadero enfoque historicista contempla la célula, las etapas, las propiedades, así como las leyes y tendencias de desarrollo del objeto de estudio. Ello significaría, en el marco de las RAM por ejemplo, determinar los elementos de la personalidad en base a los que se van a desarrollar las capacidades o se van a formar las competencias, así como una guía de estudio de las actividades y condiciones concretas que cualifican ese proceso dinámico. ¿Cuáles son las fases y elementos que permitieron llegar al objeto desarrollado (competencias u otra categoría)? S. L. Rubinstein (1963), destacado investigador soviético, formuló la siguiente tesis capital para la psicología pedagógica: "Análisis y síntesis son "denominadores comunes" de todo proceso de cognición (…) Al mismo tiempo, ambos procesos se presentan bajo distintas formas en los diferentes estadios del conocimiento" (p. 322).
Cuando un documento análogo o superior a las RAM les brinde a las y los maestros el método para dirigir experimentalmente el proceso de enseñanza – aprendizaje mediante el estudio de las condiciones concretas de desarrollo de capacidades y otras cualidades de la personalidad, en su origen, leyes, elementos, fases y tendencias, recién podrá decirse que asume un enfoque historicista.
3. La enseñanza – aprendizaje de la matemática y el enfoque de problemas
Asumimos el enfoque centrado en resolución de problemas o enfoque problémico como marco pedagógico para el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas, por dos razones:
· La resolución de situaciones problemáticas es la actividad central de las matemáticas
· Es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad matemática con la realidad cotidiana. (Ministerio de Educación, 2013a, p. 10)
En esta cita se encuentra una de las peores confusiones conceptuales de las RAM. Cuando se identifica el enfoque problémico con el enfoque centrado en la resolución de problemas, se están identificando dos metodologías con etapas e intencionalidades relacionadas, pero muy diferentes. Schroeder y Lester (1989, citados en Cruz, 2006) relacionan la enseñanza y la resolución de problemas mediante las preposiciones inglesas for, about y through. De esta manera, se distinguen tres formas de plantear el enfoque centrado en resolución de problemas:
La enseñanza "para" resolver problemas se asocia al modelo estímulo – respuesta, donde las habilidades se "adquieren" a través de la reiterada resolución de una serie de ejercicios interconectados (p. 109)
La enseñanza "sobre" la resolución de problemas se genera en el seno de la teoría del procesamiento de la información:
Particularmente, la resolución de problemas se interpreta como un proceso racional y significativo, que se apoya en una entrenada memoria de trabajo y esta, a su vez, en la memoria a largo plazo. A pesar de todo, este enfoque facilita la adquisición de nuevas experiencias por parte de los estudiantes (…) y no solo se enmarca en el sentido estrecho de la ejecución. (Schroeder y Lester, 1989, citado en Cruz, 2006, p. 110)
En el tercer enfoque "(…) el propósito no reside en formar un imitador (enfoque "para") ni un procesador (enfoque "sobre"), sino un pensador activo" (Schroeder y Lester, 1989, citados en Cruz, 2006, p. 110). A continuación, se inserta una adaptación del esquema de Wyndhamn (1993, citado en Cruz, 2006, p. 111), acerca de un modelo general del proceso de resolución de problemas, necesario para comprender la explicación posterior de Cruz (2006):
| Figura 1. Un modelo general del proceso de resolución de problemas (Cruz, 2006, p. 11) |
El primer enfoque enfatiza la relación 3 y el segundo el ciclo B – C- D – E – B, sin embargo, el tercer enfoque se expresa por todo el diagrama (…) Estas ideas alentadoras, bien podrían aparentar que la Enseñanza Problémica es la enseñanza "a través" de la RP (Resolución de Problemas.-El autor de este trabajo); sin embargo, esto no es así. Esta última se limita a establecer las raíces epistemológicas (…) donde la Matemática es vista como una actividad matemática que enfatiza la RP. La Enseñanza Problémica es una perspectiva pedagógica sistémica, equipada de leyes y categorías, de manera que establece cuándo y cómo aplicar los métodos problémicos. Esto indica que, si bien el énfasis subyace sobre el tercer tipo de enseñanza, se admite la eventual manifestación de los modelos "para" y "sobre" en determinados momentos del proceso docente – educativo. (pp. 110 – 111)
Por lo consignado en los documentos oficiales, parece que las RAM se encuentran orientadas hacia el tercer enfoque. Por lo tanto, mal pueden ser identificadas con la Enseñanza Problémica, sistema teórico originado en las mismas tierras donde brilló antaño el genio de N. I. Lobachevski, nutrida por destacadas maestras y maestros de aula mayoritariamente provenientes de los países socialistas, antiguos y actuales. Podemos encontrar en Martínez y Hernández (2004) los aspectos generales del enfoque problémico; en Guanche (2011), sus aplicaciones a la Didáctica de las Ciencias Naturales y en Torres (1999), la Didáctica de la Matemática con enfoque problémico.
4. La planificación de la enseñanza – aprendizaje de la matemática
4.1. Planificar clases desde las REM
González (2000) define a la fórmula de la enseñanza de la siguiente manera:
(…) la unidad de la enseñanza centrada en el profesor (donde predomina el aprendizaje reproductivo) con la enseñanza centrada en el estudiante (donde predomina el aprendizaje creador) y el tránsito de la una en la otra. Esta es la tarea del maestro, pasar de la una a la otra, o sea, que el estudiante asimile creadoramente los contenidos que él le imparte. (p. 48)
Esto nos lleva a hacer nuestra la valoración de Mendoza (2013) acerca de las Rutas para el Aprendizaje de la Matemática (RAM): ¡en realidad son Rutas para la Enseñanza de la Matemática (REM)! En lo sucesivo, vamos a denominarlas así ¡Sus objetivos coinciden, aparentemente, con los planteados en la fórmula! Pero, ¿los instrumentos para conseguirlos son los adecuados? Veamos una muestra (Ministerio de Educación, 2013a):
A los docentes nos toca ahora guiar, explorar y respaldar las iniciativas de los estudiantes, sin dar la clase de manera frontal tipo conferencia. (p. 14)
Puedo dirigir la clase de forma frontal y asegurarme que todos los estudiantes trabajen. Puedo "facilitar" la "sesión" y despilfarrar el valioso tiempo en actividades sin sentido. ¿Por qué ese afán condenatorio y maniqueo, ese discurso dirigido hacia las y los maestros del "haz esto – no hagas esto" sin mayores razones que no sean superiores al simple sentido común? ¿Por qué se continúa empleando la lógica formal ("método bueno – método malo") en el trabajo pedagógico, cuando este es profundamente dialéctico, a cerca de cien años de los trabajos de A. S. Makarenko en esa dirección y a más de un siglo de la obra desarrollada por otros pedagogos progresistas? ¡Todo depende del objetivo rector de la clase, de la metodología y de otras condiciones concretas en el transcurso de las cuales se lleva a cabo el proceso de enseñanza – aprendizaje! A propósito, ¿cuáles son los pasos básicos de la metodología centrada en la resolución de problemas que plantean las REM? Se plantea que los estudiantes (Ministerio de educación, 2013a):
"1. Conozcan una situación problemática (…) 2. Hagan preguntas (…) 3. Seleccionen los temas a investigar (…) 4. Trabajen en grupos". (p. 15)
En cuanto, a la planificación de las unidades y "sesiones" de aprendizaje, se sugiere una secuencia que recuerda a la que se empleaba en los métodos de la Escuela Nueva o la que se recomienda bajo la estrategia ABP, característica de algunos currículos de carreras universitarias. En otro documento explicativo de las REM se indica lo siguiente (Ministerio de Educación, 2013b):
Para la presentación de las actividades, es pertinente mostrarlas de forma global; deben permitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes, evitando de esta forma un proceso rígido, secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. (p. 25)
Planificar, desarrollar y evaluar las actividades de enseñanza – aprendizaje constituye el corazón del trabajo de las y los maestros. Realizar los procesos ya indicados en un contexto de resolución de problemas (sin hablar, por supuesto, de la metodología problémica) exige mayor claridad teórica (¡y científica!) para un mejor trabajo de aula y viceversa. Esta claridad no es proporcionada por las REM. Se corre el riesgo de reducir las clases de matemática al enfoque de enseñanza para resolver problemas.
D'Amore (2006) identifica una paradoja (ejemplo brillante de situación problémica) en la introducción de las situaciones problemáticas en la enseñanza – aprendizaje de la matemática:
(…) para el maestro: es necesario que la actividad se halle fuertemente estructurada, prevista en todos sus detalles metodológicos y de contenido matemático (…) para el estudiante: debe sentirse libre de usar sus propios recursos mentales, independientemente de sus conocimientos previos. (pp. 295 – 296)
Esta paradoja no es sino el germen de la fórmula de la enseñanza de González (2000) en el terreno de la enseñanza – aprendizaje de la matemática con el enfoque centrado en problemas. ¿Y en qué consiste un problema? Este (en su acepción más amplia) posee dos aspectos íntimamente relacionados, de los cuales uno u otro predomina en determinado momento: objetivo y subjetivo. El primero tiene que ver con la estructura general (contenido, condiciones y exigencia del problema), así como con su estructura específica. El aspecto subjetivo consiste en la actividad del sujeto que resuelve el problema, actividad cognoscitiva caracterizada por la necesidad y motivación para solucionarlo, así como su carácter personalizado y relativo (Labarrere, 1987). La formación de la actividad cognoscitiva mediante la solución de problemas matemáticos es:
(…) un complejo proceso pedagógico en el cual el alumno asimila la estructura lógica del proceso de obtención de nuevos conocimientos y forma los motivos y necesidades personales que lo impulsan y dirigen hacia la adquisición independiente de tales conocimientos. (Labarrere, 1987, p. 54)
Por lo tanto:
La formación de la actividad cognoscitiva en el alumno, a través de la solución de problemas, requiere que los motivos y las necesidades hacia esta actividad sean contemplados como objeto específico de la acción pedagógica, (…) aspecto que debe ser sometido a la acción planificada". (Labarrere, 1987, pp. 58 – 59. Subrayado del autor de este trabajo)
Valorando la importancia de definir tres escenarios como la "sesión" taller matemático, la "sesión" laboratorio matemático y el proyecto matemático, a la luz de lo afirmado anteriormente por D'Amore (2006) y Labarrere (1987), no podemos concordar con la última cita de las REM, transcrita más arriba. En ella, la paradoja de D'Amore (2006) se resuelve aparentemente "a favor" del estudiante. Creemos que ello no es correcto, por una razón psicológica más profunda: el principio del determinismo. Este afirma que "las causas externas actúan a través de las condiciones internas" (Rubinstein, 1963, p. 303; 1974).
Es completamente necesario que las y los maestros planifiquemos de la mejor manera las actividades de clase, de forma tal que lo estático y lo dinámico se muestren en unidad y se puedan relacionar con las condiciones de desarrollo de las y los estudiantes, con el aumento progresivo de su libertad de pensamiento y acción, pero de una forma no absolutamente supeditada a aquellas. A esta difícil tarea dedican sus energías las y los maestros de todo el mundo, así como no pocas investigaciones: ¡se trata de la fórmula de la enseñanza en acción!
Otro aspecto de la planificación, pero que se advierte mejor en la ejecución: ¿cómo se deben relacionar lo objetivo y lo subjetivo durante una clase (o un sistema de ellas) con el enfoque centrado en la resolución de problemas? Si se adoptara el esquema de las REM, lo subjetivo sería siempre el factor predominante, a pesar de la aparente concentración en lo histórico. Pero los casos o ejemplos ilustrativos que se insertan en los fascículos dan una idea de "sesiones de aprendizaje" aisladas. En muchos casos se profundiza en la estructura o secuencia didáctica de una de ellas y se descuida su relación con las demás. Esto es peligroso si se desea desarrollar no solamente las seis capacidades matemáticas propuestas en las REM. En realidad, para el desarrollo de capacidades, entran a escena otros elementos, brevemente reseñados en el primer apartado del presente trabajo:
Factor esencialmente importante para el desarrollo de las capacidades de la persona son los intereses específicos estables. Los intereses específicos son aquellos que están orientados al contenido de algún sector de la actividad humana, los que se transforman en inclinación a ejercer este tipo de actividad de manera profesional. (Petrovski, 1985, p. 420)
Nótese la relación entre escuela, actividad laboral y profesional, punto descuidado en nuestra Patria. Además de ello:
El pensamiento está íntimamente relacionado con la solución de problemas. Pero es imposible identificarlos, reducir el pensamiento a la solución de problemas. (Petrovski, 1985, p. 313)
Sigue diciendo A. V. Petrovski (1985):
A pesar de que el pensamiento no se reduce a la solución de problemas, lo mejor es formar el pensamiento durante el proceso de solucionarlos, cuando el alumno se enfrenta a problemas y preguntas factibles, las formula y luego las resuelve. Durante el último tiempo, como base de las investigaciones psicológicas de la situación problemática y la solución de problemas se elaboran métodos de enseñanza escolar basados en estos. Tales métodos de enseñanza se orientan a poner al alumno en la situación de "descubridor", de "investigador" de ciertos problemas que están de acuerdo con sus capacidades (…) En estas condiciones se educa mejor el pensamiento del niño, pensamiento verdaderamente autónomo, que siempre descubre algo nuevo, capaz de superar dificultades. (p. 314)
Las últimas frases corresponden a las intenciones de los métodos problémicos, cuya esencia resumida ha citado Petrovski (1985). Sin ánimo de sustituir la experimentación colectiva de raíz nacional, creemos que solo la planificación, ejecución y evaluación de las clases, orientada hacia le Enseñanza Problémica favorecerá una interacción dinámica entre lo objetivo y lo subjetivo, y concretará en toda su intensidad la fórmula de la enseñanza de González (2000). ¿De qué forma podemos hacer esto?
4.2. Planificar sistemas de clases desde la Enseñanza Problémica
El conjunto de actividades destinadas a la planificación de clases, en general, es denominado tratamiento metodológico. Para realizarlo con enfoque problémico, se pueden señalar los siguientes procedimientos organizados en momentos:
1er. Momento: Propedéutico. Predominio del aspecto objetivo del problema.
En esta etapa se abordan aquellos dominios del conocimiento del profesor de matemáticas que (Ball, Thames y Phelps, 2008, citados en Márquez, 2013) colocan dentro del conocimiento del contenido: conocimiento común del contenido, conocimiento del horizonte matemático y conocimiento especializado del contenido. Así mismo, se puede sugerir que en este momento la labor de maestras y maestros transita de la actividad personal a la colectiva. Guanche (2011) propone las siguientes actividades, originalmente planteadas para la enseñanza – aprendizaje de las Ciencias Naturales, pero que se pueden transferir a la enseñanza – aprendizaje de la Matemática con adaptaciones:
a) Estudio profundo del contenido científico presente en el currículo nacional de Matemática. Dado que se va a planificar sistemas de clases, encuadrados en unidades didácticas, se debe enfatizar en el estudio del material científico que después se va a trasponer didácticamente. Ahora bien: los últimos eventos de "capacitación" docente se han centrado demasiado en las etapas y los procesos de una "sesión de aprendizaje" y no han descrito los nexos con sus homólogas. Nunca debemos olvidar esto:
Cuando un profesor se prepara para el desarrollo de sus clases no debe olvidar que cada clase por correcto que sea su desarrollo no garantiza por sí sola el aprendizaje y la formación de sus alumnos. Para que esto se logre es preciso ver a cada clase como parte de sistemas mayores y solo cuando la clase articula correctamente con las anteriores y las posteriores se puede aspirar a contribuir eficazmente al desarrollo de los educandos (Jon, Fernández, Quintana y Carrasco, 2002, p. 51)
b) "Búsqueda en la literatura popular de curiosidades, noticias, hechos sorprendentes relacionados con el contenido, en libros, revistas, periódicos y otras fuentes" (Guanche, 2011, p. 158)
De por sí se entiende que un buen método de sistematización (por ejemplo, el fichaje) es muy necesario. La redacción de borradores a pulir durante el tratamiento metodológico es imprescindible.
2do. Momento: Propedéutico. Predominio del aspecto subjetivo del problema
Dentro de lo que Ball, Thames y Phelps (2008, citados en Márquez, 2013) consideran como el dominio del conocimiento didáctico del contenido, complementario al del conocimiento del contenido, definen los subdominios de conocimiento del contenido y de los estudiantes, conocimiento del contenido y de la enseñanza, así como conocimiento del currículo. En el segundo momento es necesario que las y los maestros de Matemática (así como los de otras áreas) desarrollen un trabajo más colectivo, sin descartar los recorridos de ida y vuelta hacia el primer momento señalado más arriba. Existen métodos y vías para lograrlo, que necesitan ser adecuadas experimentalmente a nuestra realidad geográfica y social, sin descartar el empleo de las actuales tecnologías de la comunicación (chat, videoconferencia, redes sociales, wikis, etc.): reuniones metodológicas, clases abiertas (demostrativas o metodológicas), visitas de ayuda metodológica, seminarios científicos metodológicos, etc., se cuentan entre las formas de concreción de un sistema de apoyo metodológico al docente, complementario a la Formación Inicial y Permanente. La experiencia histórica al respecto es vasta, en especial en aquellos países donde la ciencia pedagógica se desarrolla a ciclo completo (I + D + I), es política nacional de importancia estratégica y, además, cada uno de las maestros y maestros la sienten y hacen suya. Es tal el impacto del trabajo metodológico en la cualificación de las habilidades profesionales de las y los docentes, así como en el mejoramiento sucesivo e indetenible del proceso de enseñanza – aprendizaje dirigido por ellos, que ha podido ser calificado de "arma secreta de la educación" en Cuba (Torres, 2011d).
Las actividades del segundo momento, adaptadas de Guanche (2011) son:
a) Análisis de la unidad a planificar: objetivos, sistema de habilidades en su relación de precedencia, división en subsistemas de clases, identificación de conceptos nuevos, elaboración de lista de asignaciones que podrían realizar las y los estudiantes (en relación con los subsistemas de clases).
b) Preparación de dos columnas en cada subsistema de la unidad: una debe listar los conceptos nuevos de acuerdo a un orden lógico; la otra, esbozos de la forma en que pueden presentarse las contradicciones o proposiciones tendientes a ellas.
Con relación a esto, Torres (1999) plantea que:
(…) las posibilidades de crear situaciones problémicas en la enseñanza de la Matemática (…) están asociadas a: la resolución de ejercicios con texto matemático o de la práctica; la estructuración de procedimientos con carácter algorítmico o cuasialgoarítmico; la definición de conceptos; la formulación de nuevas proposiciones, la resolución de ejercicios de construcción geométrica, y la demostración de proposiciones. (p. 6)
c) Primera versión de la dosificación: número de horas/clase asignadas a la unidad y a cada subsistema, de acuerdo a lo que necesitan las y los estudiantes para resolver los problemas docentes planteados a partir de cada contradicción. Así mismo, deben determinarse los objetivos que se deben alcanzar en cada hora/clase, en correspondencia con las contradicciones.
Tengamos en cuenta que Torres (s. f.) propone el empleo de procedimientos heurísticos esenciales para la resolución del problema mediante las tareas y preguntas problémicas, de acuerdo a una de las situaciones típicas de enseñanza de la matemática que se indicó en la cita anterior. De esta forma, no coindicen los procedimientos heurísticos para elaborar conceptos que los procedimientos para establecer prescripciones algorítmicas o cuasialgorítmicas.
d) Distinción, en la unidad temática, de aquellos sistemas de clases correspondientes a los eslabones de motivación del nuevo contenido, información del contenido, asimilación del contenido, dominio del contenido, sistematización del nuevo contenido y evaluación del aprendizaje (Alvarez de Zayas, 2002). El eslabón o etapa es:
(…) cada uno de los estadios en que se desarrolla la Metodología del Proceso de Enseñanza Aprendizaje para lograr un objetivo en los escolares y que se caracteriza por los distintos momentos o tipos de actividad cognoscitiva que desarrollan los estudiantes durante el aprendizaje de un nuevo contenido, mediante la ejecución de un conjunto de tareas (Alvarez de Zayas, 2002, p. 186).
En algunas clases se pueden desarrollar determinados eslabones o un eslabón puede considerar varias clases: tal es la flexibilidad didáctica de acuerdo a las condiciones concretas en las que se desarrolla la clase. Aquí es donde se verifica la tesis indicada más arriba por Cruz (2005) y explicada por Torres (1999): desarrollar el proceso de enseñanza – aprendizaje con enfoque problémico implica articular lo productivo y lo reproductivo, lo creativo y lo aplicativo, lo problémico y lo no problémico. ¡No se pueden iniciar todas las clases con un problema! Hay oportunidades en que debemos retroceder un paso para avanzar cinco, detenernos para desplegar un salto gigantesco en nuestras clases o avanzar sin dubitaciones. No olvidemos que el camino del conocimiento no es recto, sino zigzagueante.
3º momento: Diseño de los planes de clase
Aquí no debe descartarse una vuelta a los dos momentos anteriores. Esta forma de organización no es un corsé de hierro, sino una guía con la que adquiriremos maestría a medida que vamos mejorando su implementación. Siempre de acuerdo con Guanche (2011) se van a desarrollar las siguientes actividades:
a) Detallar para cada clase: el objetivo, la contradicción a abordar (o el aspecto de la contradicción generatriz de todo el sistema de clases que se va a trabajar en esa clase), las tareas y preguntas problémicas que desarrollarán el sistema de habilidades y que permitirán resolver el problema docente, en correspondencia con el método problémico más idóneo y orientadas hacia la zona de desarrollo próximo de las y los jóvenes (búsqueda parcial, conversación heurística, exposición problémica o método investigativo). Incluir condiciones materiales, posibilidades de las asignaciones planteadas, tipo de problema docente, nivel de independencia de las y los estudiantes, etc.
Siempre se debe revisar la corrección de los objetivos formulados, así como la forma en la que se han redactado y presentado las contradicciones (Guanche, 2011).
b) Elaborar una relación de los medios más adecuados a cada clase, especificar si se deben crear, conseguir o solicitar a las y los estudiantes. Utilizar los periódicos y revistas si es que las contradicciones se han sugerido a partir de esos materiales (Guanche, 2011)
c) Incorporar las tareas para la casa. Pueden incluirse algunos aspectos contradictorios no incluidos durante el sistema de clases.
d) Determinar cómo se evaluará en el transcurso de las clases, los controles sistemáticos y al finalizar la unidad. Estructurar sistemas de tareas para el trabajo independiente orientadas hacia el eslabón de consolidación.
e) Analizar los planes redactados para revisar la coherencia y perfeccionarlos.
Obsérvese que el tratamiento metodológico mediante el enfoque problémico es más laborioso que en el tratamiento guiado por otro enfoque. Así mismo, los planes de clase son más detallados. En ellos deben preverse las posibilidades de problemas parciales, interrogantes o preguntas que pueden aparecer en el transcurso de la clase para prever la forma en la que las y los maestros pueden encauzar la discusión, en el sentido más alto de esta palabra (Guanche, 2011).
¿Cuándo resulta apropiada la utilización de la enseñanza problémica y cuál de los métodos emplear si se va a asumir dicho enfoque? Torres (1999) nos dice:
La respuesta a la primera pregunta presupone el análisis de la relación didáctica fundamental objetivo – contenido – método y la consideración de las condiciones de la enseñanza. El análisis de la segunda pregunta exige la conservación de la unidad de los aspectos lógico y psicológico del método de enseñanza (…) Las deficiencias detectadas en ese sentido (en el trabajo del profesor con la enseñanza problémica) se deben, en gran medida, a la ruptura de la unidad de los aspectos interno y externo del método de enseñanza. Esto quiere decir que las relaciones que se establecen entre el profesor, los alumnos y la materia de enseñanza, deben corresponderse con los procedimientos y operaciones lógicas que predominan en cada fase del proceso, o sea, con la esencia del fenómeno (pp. 5 – 6).
Hasta aquí una propuesta para planificar las clases con enfoque problémico. De su experimentación y evaluación (aspectos sobre los que no profundizaremos) depende su mejoramiento sucesivo, así como la maestría pedagógica. Además de los criterios didácticos legales para su implementación, existen otros factores de imprescindible cumplimiento, tales como la metodología del trabajo educativo, el par contradictorio de la instrucción y del que aquí nada se ha dicho (las REM también guardan silencio). Una gestión educativa en todos sus niveles que contemple a la experimentación científica como sustrato nutricio, antes que a la rutina burocrática o de ucase también es necesaria. Es necesario el funcionamiento de una estructura de gestión dedicada al trabajo metodológico experimental a ciclo completo. Ya en la clase, se requiere desarrollar las habilidades profesionales del saber preguntar y formular impulsos didácticos (Torres, 2011c; Guanche, 2011), en relación con el principio de las exigencias decrecientes (Torres, 2011a, 2011b). De acuerdo con Petrovski (1985):
La persona es capaz de recibir la ayuda externa solo cuando por sí misma se ha acercado al elemento de solución indicado (…) Así la indicación, aceptada o ignorada, pasa a ser índice objetivo del proceso interior del pensamiento (…) La metodología experimental de las "indicaciones" permite estudiar las leyes internas específicas de la actividad racional (p. 313).
Para autoevaluarnos y superarnos constante y colectivamente (por ejemplo, con algunas de las vías metodológicas reseñadas más arriba), así como generar insumos para la investigación pedagógica, podemos elaborar guías didáctico – descriptivas de las clases seguidas con enfoque problémico, documento metodológico desarrollado por Guanche (2011).
4. El problema del objetivo didáctico
El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cuales son definidas como un saber actuar en un contexto particular, en función de un objetivo o la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación y a la finalidad de nuestra acción. Para tal fin, se selecciona o se ponen en acción las diversas capacidades y recursos del entorno. (Ministerio de Educación, 2013b, p. 15. Subrayado del autor de este trabajo)
Comparemos lo citado con esta concepción acerca de la educación, asunto importantísimo en la definición del objetivo didáctico (Pérez, 2007):
La educación es el fenómeno central de humanización (de socialización) del individuo en la totalidad social, en la cultura, en la civilización (…) El contenido de la educación será por tanto el proceso de formación del hombre, el movimiento de humanización de cada sujeto, de inserción, especificación y reconocimiento en la totalidad social indicada. (pp. 16 – 17)
Si el proceso educativo se desarrolla en diferentes instituciones y medios sociales, sobre los que destaca la función formal de la escuela, ¿es sensato pensar que las instituciones extraescolares deban poner proa hacia las competencias? Claro que no, salvo en el caso que se confundan categorías y funciones sociales. En lo referente al currículum escolar, Peñaloza (2003) indica que diseñarlo íntegramente mediante competencias "resulta un despropósito" (p. 121). Para el mismo investigador, las y los estudiantes deben poseer conocimientos, formación general humanística y vivencias valorativas además de las competencias factuales, comunicativas y sociales.
La realización de los fines de la educación en cada uno de los miembros de la sociedad y de la mejor manera posible constituye un problema eterno. Cada una de las formaciones sociohistóricas del planeta ha intentado resolverlo de acuerdo a los intereses, ideales y limitaciones predominantes en su seno. De la misma manera no definen los propósitos educativos ni los métodos para conseguirlos la sociedad que desea formar ejércitos laborales de reserva y la sociedad que pretende el máximo desarrollo de las capacidades de sus integrantes.
Cometen un error quienes persisten en decir que "ahora no se programa (planifica) por objetivos, sino por competencias (o por capacidades, categoría asociada)". En primer lugar, porque todo plan curricular se dirige hacia un punto intencionalmente determinado, no hacia su opuesto. En segundo lugar, porque la categoría didáctica que abarca a los distintos propósitos acuñados en los últimos treinta años (objetivo conductual, competencia, capacidad, destreza, habilidad, etc.) y que se puede observar en la múltiple literatura especializada es la de objetivo. Ahora bien: al planificarlo se necesita precisar sus rasgos para definir la instrumentación adecuada.
¿Qué es la competencia? Ya se citó más arriba la definición de competencia aportada por las REM, solo una de las muchas definiciones existentes, motivadas por los diferentes enfoques y énfasis existentes (Tobón, 2010). Dado que es un objetivo a largo plazo, suponemos que en cada "sesión de aprendizaje" se va a desarrollar un objetivo – componente suyo denominado capacidad. ¿Esto es correcto? ¿En qué forma se relacionan las competencias con las capacidades? ¿Se han establecido las vías para cualificar dicha relación? Y si no es la capacidad, ¿a qué otro objetivo apuntan las "sesiones de aprendizaje"? ¿Es posible pensar en otro tipo de objetivo? De hecho: existen otros tipos de aprendizaje, factibles de constituir objetivos didácticos, complementarios o constituyentes de la competencia. Conocerlos y saber en qué relación se encuentran conforman una tarea de la psicología pedagógica que debe ser abordada entre las actividades investigativas y de tratamiento metodológico reseñadas en el apartado anterior.
Itelson (1980) define al aprendizaje como "una modificación adecuada y estable de la actividad que surge gracias a una actividad precedente y no es provocada directamente por reacciones fisiológicas innatas del organismo" (p. 205). En esa dirección se distinguen los niveles reflejo (de tipo sensorial o de tipo motor, cuyos resultados se manifiestan en hábitos sensoriales, motores y sensomotores) y cognitivo (con los subniveles práctico e intelectual; en el primero se forman las aptitudes prácticas y en el segundo, más elevado, se aprenden conceptos y aptitudes teóricas y de pensamiento). El primero transcurre a través de búsquedas, pruebas y errores dirigidos por las emociones y necesidades; el segundo se caracteriza por el descubrimiento consciente, el experimento, la observación y otros procesos del pensamiento, los que son dirigidos por "fines y tareas conscientemente planteadas" (Itelson, 1980, p. 213).
Rodríguez y Bermúdez (2005) brindan un nuevo enfoque (historicista) sobre la tipología de Gagné y mediante la asimilación crítica de los aportes de la Psicopedagogía soviética propusieron la siguiente pirámide conceptual del aprendizaje:
| Figura 2. Pirámide conceptual de tipos de aprendizaje (Rodríguez y Bermúdez, 2005, pp. 74 y 90) |
Rodríguez y Bermúdez (2005) precisan la necesidad de continuar la investigación para precisar la definición del principio del aprendizaje cognitivo racional teórico, el más complejo de todos. "Es el único que no se advierte con clara nitidez en las leyes propuestas, a no ser que se provoque la vulnerabilidad de la ley del cierre de la Gestalt y la ley de No contradicción de la lógica formal" (Rodríguez y Bermúdez, 2005, p. 91). Con este tipo de aprendizaje se encuentran íntimamente relacionadas las contradicciones presentes en los métodos problémicos. De ahí que resulte importante la orientación de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática (y otras áreas) hacia la enseñanza problémica. Con la intención de brindar precisión en la actividad profesional de maestras y maestros, presente en cada una de las páginas de su obra, los autores antes citados brindan la siguiente propuesta de ejecución algoritmizada de instrumentaciones contenidas en un programa de disciplina o asignatura, aplicable a la Matemática escolar. Este bien podría ser el corazón de un documento alternativo o superior a las REM, basado en la experimentación en aula (Rodríguez y Bermúdez, 2005):
1. Clasificar las instrumentaciones profesionales[1] en motoras (hábitos) e intelectuales (habilidades).
2. Clasificar las instrumentaciones intelectuales en acciones de obtención del conocimiento y de aplicación.
3. Identificar la validez instrumental de las acciones y operaciones declaradas como instrumentaciones profesionales en los Programas.
4. Sistematizar (reducir a un sistema) las instrumentaciones del Programa analítico en conformidad con su carácter motor o intelectual y su validez instrumental.
5. Dosificar el programa analítico de acuerdo con la frecuencia y periodicidad, complejidad y flexibilidad de las instrumentaciones intelectuales (p. 90).
Así pues, observamos que en el panorama del proceso planificado de enseñanza – aprendizaje que se lleva a cabo en la escuela, existen otras categorías más allá de las competencias, que cubren la totalidad de la actividad humana que la psicología pedagógica ha estudiado hasta ahora. Itelson (1980) indica algo válido para las dos tipologías ya mencionada, tesis que es desarrollada en los capítulos siguientes de su obra:
Se entiende que todos los niveles y tipos de aprendizaje que hemos enumerado están clasificados en cierta medida convencionalmente. En realidad, durante el aprendizaje humano todos ellos están estrechamente entrelazados e interconectados. Pero cada uno de ellos tiene determinadas particularidades. Además, estos niveles aparecen también como estadios genéticos del aprendizaje (…) Pero los niveles precedentes no desparecen ni pierden su significación, solo que se reestructuran, se subordinan al aprendizaje de tipo más elevado y comienzan a integrar su estructura (p. 213)
Estudiar esto es necesario para precisar los objetivos que deben desarrollarse durante un sistema de clases.
Reconociendo la necesidad de incluir las competencias como un objetivo más entre otros a donde debe dirigirse la labor de la escuela (cuyo fin debe ser el desarrollo multilateral de las y los estudiantes) y valorando su importancia en especial para la educación profesional ligada al campo laboral (González y Naranjo, 2013), no es difícil sentir fastidio ante la polisemia del término, vinculada a conceptos de sociedad neoliberal de mercado. Por ello, proponemos el empleo de un propósito curricular finalista alternativo, hacia donde converjan todos los tipos de aprendizaje subordinados, en un quipu científicamente anudado por las y los maestros de acuerdo a las circunstancias concretas y a una guía científica superior a las REM. Se trata del talento.
¿Cuál es la relación entre competencia y talento? Petrovski (1985) señala: "El talento es la combinación de capacidades que permite llevar a cabo exitosamente alguna actividad laboral complicada, de manera propia y original" (p. 414). Por lo expuesto, se puede trazar el signo de equivalencia bastante cercana entre el talento y la competencia. ¿Qué hay de nuevo en ello? Las condiciones sociales del despertar de los talentos (Petrovski, 1985). Sin ese ingrediente ya se pueden comprender mejor el por qué no se ha tenido éxitos en el enfoque curricular peruano de competencias, a cerca de tres lustros a más de su introducción: ¡las condiciones sociales neoliberales de ningún modo son las óptimas! ¿Significa algo el estudio de los talentos demostrados, por ejemplo, por las y los jóvenes del grupo de Olimpíadas Matemáticas, brillantes en su Patria y en el extranjero? Además de representar la victoria del pensamiento por sobre las agrestes circunstancias que lo rodean, el análisis de los componentes del talento "permite segregar las estructuras generales de capacidades, que intervienen como agrupaciones más características de las cualidades psíquicas asegurando la posibilidad de realizar muchos tipos de actividades en el más alto nivel" (Petrovski, 1985, p. 416). De lo que se trata es de generalizar estas experiencias, sin desconocer que en otras partes del mundo mucho se hizo y se hace por derrotar el divorcio de la mano y la mente mediante la educación politécnica. Solo ella puede realizar el ideal de Kolmogorov, el desarrollo de talentos, que las REM no ayudan a concretar.
5. Conclusiones
(…) es paradójico el hecho de que la Tierra gire alrededor del Sol y de que el agua esté formada por dos gases muy inflamables. Las verdades científicas son siempre paradójicas, si se las mide por el rasero de la experiencia cotidiana, que solo percibe la apariencia engañosa de las cosas.
(Marx, s. f., p. 210)
De todo lo problematizado, así como de las alternativas planteadas, podemos indicar que:
a) La matemática escolar es un área aburrida y fácilmente olvidable debido, en gran parte, a que no es una actividad socialmente reconocida. Esto se encuentra relacionado con el pobre desarrollo actual y perspectivo de la ciencia y técnica nacionales. Cambiar el statu quo es una amplia tarea social que debe ser guiada por un Proyecto Nacional de Desarrollo, en las condiciones de una Nueva República. Por lo tanto, poco puede hacer un puñado de recomendaciones didácticas, erróneamente denominado como Rutas de Aprendizaje de la Matemática, que deberían denominarse Rutas para la Enseñanza de la Matemática (REM).
b) Un auténtico enfoque historicista de la enseñanza – aprendizaje de la Matemática no se centra en la actividad de resolución de problemas, fundamental e importante en el desarrollo de aquella ciencia, sino que debe mostrar cuál es el proceso y condiciones en que los tipos de aprendizaje existentes en el área de Matemática (lo psicológico) se generan unos a otros, así como guiar a maestras y maestros en la dirección más eficaz de aquel proceso (lo lógico).
c) Para precisar las relaciones entre lo psicológico y lo lógico en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática es necesario instituir organizaciones y vías de trabajo metodológico constante, intensa investigación pedagógica de ciclo cerrado, gestión orientada hacia lo investigativo y correcta línea pedagógica de masas entre los órganos y niveles de gestión y las y los educadores profesionales. Como condición saludable del medio, también se requiere dirigir cualificadamente el trabajo educativo.
d) Asumir el enfoque problémico en la enseñanza – aprendizaje de la Matemática es mucho más que pretender desarrollar capacidades a través de la resolución de problemas mediante "facilitación" y bajo sugerencias maniqueas. Significa identificar las condiciones y criterios de aplicabilidad, dominar el cuerpo categorial y metodológico propio de la Enseñanza Problémica, planificar sistémicamente las clases (de manera creativa, colectiva y experimental, con espíritu de superación permanente), relacionar adecuadamente lo productivo con lo reproductivo y saber orientar el movimiento cognoscitivo de las y los estudiantes hacia la zona de desarrollo próximo. Al constituir la Enseñanza Problémica un enfoque donde se muestran todas las potencialidades de maestras, maestros y estudiantes en su lucha por el mejoramiento constante de las habilidades profesionales y para el desarrollo de la cosmovisión científica, proponemos su experimentación a gran escala como alternativa al enfoque de las REM.
e) Para la implementación científica completa de un nuevo currículo, es necesario definir rigurosamente los tipos de objetivos hacia donde se orienta. El estudio de su pluralidad (correspondiente a la multidimensionalidad del ser humano que quiere formar la escuela para la vida), dinámica y componentes es importante para dirigir planificadamente y por etapas el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática con enfoque problémico, correspondiente a la verdadera naturaleza contradictoria de los fenómenos reales que nos rodean.
6. Bibliografía
ALVAREZ DE ZAYAS, C. (2002). Didáctica General (La escuela en la vida). Cochabamba: Kipus.
CRUZ, M. (2006). La enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas. Tomo 1. La Habana: Educación Cubana.
D'AMORE, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Magisterio.
SÁNCHEZ, C. y VALDÉS, C. (2004). A propósito del centenario de un matemático excepcional: Andrei Nikolayevich Kolmogorov (1903 – 1987). Ciencias Matemáticas, 22 (1), s. p.
GONZÁLEZ, D. (2000). La Calidad en la educación. Lima: Juan Brito.
GONZÁLEZ, A. y NARANJO, W. (2013). Reflexiones sobre la formación de competencias en la Educación Superior. Pedagogía Universitaria, 18 (1), 86 – 96.
GUANCHE, A. (2011). Enseñanza por problemas en Ciencias Naturales. Lima: Universidad de Ciencias y Humanidades.
ITELSON, L. (1980). Esencia del aprendizaje y bases psicológicas de la enseñanza. En A. PETROVSKI (Red.). Psicología evolutiva y pedagógica (pp. 204 – 239). Moscú: Progreso.
JON, M., FERNÁNDEZ, J., QUINTANA, A. y CARRASCO, A. (2002). El Tratamiento Metodológico de una Unidad y de un Sistema de Clases. En BALLESTER, S., QUINTANA, A., FERNÁNDEZ, J., BÁEZ, L., SANTANA, H., RODRIGUEZ, M., et al. (2002). El transcurso de las líneas directrices en los programas de Matemática y la planificación de la enseñanza (pp. 50 – 73). La Habana: Pueblo y Educación.
KOPNIN, P. (1966). Lógica dialéctica. México D. F.: Grijalbo.
LABARRERE, A. (1987). Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria. La Habana: Pueblo y Educación.
MÁRQUEZ, A. (2013). Conocimiento profesional de un grupo de profesores sobre la división de fracciones. Trabajo para optar al Máster de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Granada, España.
MARTÍNEZ, M. y HERNÁNDEZ, J. (2004). La enseñanza problémica y el desarrollo de la creatividad. En L. GARCÍA (Comp.) La creatividad en la educación (pp. 93 – 138). La Habana: Pueblo y Educación.
MARX, C. (s.f.). Salario, precio y ganancia. En C. MARX y F. ENGELS (s. f.). Obras escogidas (pp. 186 – 232). Moscú: Progreso.
MENDOZA, J. (2013). Comunicación personal vía email (26/07/2013).
MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2013a). Hacer uso de saberes matemáticos para enfrentar desafíos diversos. Fascículo general 2. Lima: Autor.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2013b). ¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes? Fascículo 1: Números y operaciones, cambio y relaciones. Lima: Autor.
OTERO, M. (2006). Un texto historiográfico clásico: el artículo MATEMÁTICAS de Andrei N. Kolmogórov publicado en la Enciclopedia Soviética de 1936. La Gaceta de la RSME, 9 (1), 99 – 141.
PEÑALOZA, W. (2003). Los propósitos de la Educación. Lima: Pedagógico San Marcos.
PÉREZ, F. (2007). Contexto histórico y cultural del proceso de enseñanza/aprendizaje. En EDUCAP/EPLA (Comp.) Proceso de enseñanza – aprendizaje: bases neurales y contexto socio cultural (Conferencias y resúmenes) (pp. 13 – 65). Lima: Compilador.
PETROVSKI, A. (1985). Psicología general. Manual didáctico para los Institutos de pedagogía. (2da. ed.). Moscú: Progreso.
RIVERO, J. (2007). Educación, docencia y clase política en el Perú. Lima: Ayuda en Acción – Tarea.
RODRIGUEZ, M. y BERMÚDEZ, R. (2005). Las leyes del aprendizaje. La Habana: Pueblo y Educación.
ROJAS, C. (2013). Comunicación personal vía email (02/08/2013).
RUBINSTEIN, S. L. (1963). El ser y la conciencia y el pensamiento y los caminos de su investigación. (2da. ed.). México D. F.: Grijalbo.
RUBINSTEIN, S. L. (1974). El desarrollo de la psicología: principios y métodos. Buenos Aires: Grijalbo.
TOBÓN, S., PIMIENTA, J. y GARCÍA, J. (2010). Secuencias didácticas: aprendizaje y evaluación de competencias. México D. F.: Pearson Educación.
TORRES, P. (s. f.). La utilización de los métodos problémicos en la enseñanza de la matemática del nivel medio general. Recuperado el 17 de mayo de 2011, de http://www.ematematicos.rimed.cu
TORRES, P. (1999). Métodos problémicos en la enseñanza de la Matemática. La Habana: Academia.
TORRES, P. (2011a). El papel de las contradicciones en la enseñanza (3). Recuperado el 29 de marzo de 2011, de http://www.facebook.com/home.php#!/notes/didáctica-de-la-matemática-elemental/el-papel-de-las-contradicciones-en-la-enseñanza-3/139227712812454
TORRES, P. (2011b). El papel de las contradicciones en la enseñanza (4 – Final). Recuperado el 18 de abril de 2011, de http://www.facebook.com/home.php#!/pages/Did%C3%A1ctica-de-la-Matem%C3%A1tica-Elemental/184837034880747
TORRES, P. (2011c). Acerca de tu experiencia con la enseñanza problémica (1). Recuperado el 5 de mayo de 2011, de http://www.facebook.com/home.php#!/notes/didáctica-de-la-matemática-elemental/acerca-de-tu-experiencia-con-la-enseñanza-problémica-1/146437795424779
TORRES, P. (2011d). El "arma secreta" de la educación cubana en los estudios internacionales de evaluación educativa (parte 2) [Versión electrónica]. El Evaluador Educativo, 10. Recuperado el 13 de octubre de 2011, de http://www.rimed.cu
[1] Estas pueden corresponder a los objetivos didácticos tributarios de aquellos planteados a más largo plazo, en el caso de la Matemática de la EBR (Autor del trabajo).
