LUIS MARAVI ZAVALETA: TALLER DE SOCIALIZACIÓN SESIONES 1, 2, 3, 4, 5

De: LUIS MARAVI <luis_maravi20@yahoo.es>
Fecha: 8 de agosto de 2016, 16:36

Seiones:

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Mg. Luis Miguel Maraví Zavaleta : Aporte pedagógico para su difusión, esclarecimiento y ejecución del DCL

Nuevo currículo nacional de la educación básica: unas líneas acerca de las teorías que fundamentan el área de Matemática

Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA

I. E. Nº 80915 "Miguel Grau Seminario" – Centro Poblado El Pallar – Huamachuco - La Libertad

 

"¿De dónde provienen las ideas correctas? De la práctica".

"Busca la verdad en los hechos".

Mao Zedong

1.    Introducción

Luego de la aparición, implementación y una inadvertida (o, quizá, no realizada) evaluación de las (erróneamente denominadas) Rutas de Aprendizaje 2015, se ha puesto a disposición de las maestras y maestros –en junio de 2016- el nuevo Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB). Diferentes especialistas y colectivos se encuentran analizando varios aspectos suyos. En el presente ensayo, examinaremos la forma en que el CNEB expone los fundamentos teóricos del área de Matemática, así como la influencia que dicha exposición  tendría en los conocimientos y la labor práctica de las y los trabajadores de la educación. Antes de ello, mostraremos el prisma bajo el que los autores del CNEB han analizado la sociedad actual, como contexto y fuente en el que se desenvuelven los principios teóricos del área.

2.    Características de la sociedad según el CNEB. Crítica a dicho enfoque.

Los rasgos de la sociedad descritos por el CNEB y que permiten a los autores trazar el perfil de egreso de la educación básica, son los siguientes:

En primer lugar, los sistemas educativos nacionales, basados en la acción del Estado, han estado ligados a la administración y diseminación de un conjunto de conocimientos identificados con la modernidad occidental. En la actualidad esta situación sufre una doble crisis: 1) Hay una aceleración masiva de la producción de conocimiento que hace imposible que el ciudadano no especializado en un campo específico se encuentre al día respecto a la renovación del conocimiento. 2) Hay un reconocimiento y revaloración de los saberes de diversas culturas, reconocidos como saberes ancestrales, que no siempre coinciden con el conocimiento generado en la modernidad. Estas dos corrientes no han encontrado todavía el punto de equilibrio que les permita establecer complementariedades a partir de un diálogo de conocimientos que facilite el tratamiento de desafíos comunes que plantea la realidad presente y a los que se precisa responder como sociedad (…)

Otro ámbito que ha cambiado drásticamente y marca una tendencia social es el laboral: han surgido miles de nuevos tipos de trabajo para los cuales la humanidad no estaba preparada ni contaba con las personas capacitadas para desempeñarlos. Simultáneamente, muchísimos otros trabajos tradicionales se han extinguido o su nivel de productividad se ha vuelto tan bajo que ya no son capaces de dar sustento a quienes los desempeñan (…)

Una tercera tendencia es el uso masivo de las TIC que le da un contenido específico al término globalización que actualmente vivimos, en la medida en que nunca como ahora los seres humanos están conectados entre sí en tiempo real en una gran red sin centro que genera cadenas de cambio de modo permanente

Otra tendencia propia de nuestra época es el trabajo con grandes cantidades de información y en colectivos. Un rasgo especialmente relevante en este contexto es la doble capacidad de idear y diseñar propuestas para la solución de problemas y la creación de valor, y de llevarlas efectivamente a la práctica. Esto regularmente se conoce como capacidad de emprendimiento (Perú, Ministerio de Educación, 2016a, pp. 5 – 6).

Tras la anterior cita extensa, es necesario indicar que las características descritas por el documento son, cuando menos, incompletas y equívocas, pues no muestran el cuadro completo ni las fuerzas motrices del estado de cosas mencionado. Tal es así que:

-       Sobre la sociedad del conocimiento. Ya en el 2004, el Centro de Investigaciones de la Economía Mundial (CIEM) había señalado lo siguiente, al referirse al concepto de "sociedad del conocimiento":

Se acepta por todos los medios que es una economía que se basa en información y conocimientos, por encima de factores tradicionales, que incluyen evidentemente al ser humano, actor y portador de los mismos, pero ¿cuántas paradojas nos encontramos a las puertas del siglo XXI? ¿Podría llamarse Sociedad del Conocimiento al orden que impera en el mundo actual?

¿Están las TIC dirigidas a la recuperación económica, la reducción de la pobreza, el incremento de la equidad entre los géneros y alcanzar un desarrollo sustentable? (CIEM, 2004)

La cita anterior, así como el reconocimiento (en el CNEB) de que los "saberes ancestrales no siempre coinciden con la modernidad" nos llevan (mal que les pese a quienes proclaman su óbito) a afirmar, una vez más, la primacía de las relaciones de producción en  la vida de una sociedad, en la cual las fuerzas productivas poseen un rol definido. ¿Se dice en el CNEB que los rasgos descritos no se deben a cierta espontaneidad "en sí misma" del conocimiento o de los saberes ancestrales, sino a los problemas derivados del capitalismo, en tanto modo productivo desarrollado a una escala tal, que, en la actualidad, ya no pone en primer lugar la producción de bienes sino la especulación de las finanzas? (Soberón, 2015).

-       Sobre la globalización y las tecnologías. En línea con lo afirmado anteriormente, se comprende mejor que el uso de las tecnologías, inmerso en el proceso de globalización, ¡si posee un centro! Sería discutible pensar en un lugar geográfico para su ubicación, aun cuando todo apunta a EE. UU. y su imperialismo. De lo que no cabe duda es que el centro ideológico predominante al que apuntan las tecnologías en este momento es a la exaltación del capitalismo y los valores morales que dicho régimen social trae consigo. Vistas las cosas de este modo, ¿se podría concluir en que no se debería reconocer ni mucho menos usar el alto grado de avance tecnológico logrado en las comunicaciones? Categóricamente no, pues tal esfuerzo ha sido y es obra de millones de mentes y manos trabajadoras, explotadas por quienes conciben al conocimiento como una mercancía, la misma que se transforma en capital, en virtud de los procesos brillantemente estudiados por Marx y Lenin. Así pues, es erróneo creer que las tecnologías en el contexto globalizador son neutrales. De hecho, una verdadera guerra de ideas (cuando no, de balas) se libra entre los adeptos del capital y los que apuestan por un mundo mejor y más justo. De esta guerra de ideas, ni el CNEB, ni el área de Matemática (ni ninguna otra), ni mucho menos la escuela o los maestros estamos libres.

-       Sobre el trabajo. Aunque al día de hoy la oferta laboral se ha renovado y diversificado, la antigua división del trabajo (en manual e intelectual), en el fondo persiste y se ha agudizado. No es, pues, el trabajo en sí, el que no es capaz de sustentar a las personas, sino las condiciones sociales las que causan tal efecto. Esto ya no se puede ocultar más. Por otra parte, aun la actividad más creativa puede transformarse en un infierno si la persona no se siente dueña de aquella o no se siente útil ante los demás.

-       Sobre el emprendimiento. La escuela no debería fomentar la "capacidad emprendedora" sin antes preguntarse para qué. En los medios de comunicación se coloca como ejemplos de personas con espíritu emprendedor a determinadas personalidades que han conseguido cierto éxito en su trabajo como cocineros, comerciantes ambulantes, empresarios mayoristas, etc. Lo que no se menciona tanto es ¿cómo han logrado dicho "éxito emprendedor"? o ¿con quién lo han conseguido? Porque el trabajo colectivo al que alude el rasgo descrito en el CNEB desaparece en cuanto alguien se apropia del producto de la labor común. Este misterioso fenómeno es esencial al capitalismo, aunque ya no es tan misterioso cuando se lee en los periódicos que la empresa X despidió al sindicato de su tienda de ropa por pedir mejoras salariales o que los ayudantes de cocina de cierto famoso restaurante trabajan horas extra sin remuneración. Así pues, ¿la escuela debería promover "capacidad emprendedora" para que el oprimido de ayer se transforme en el opresor de hoy?  

Claramente, al describir los rasgos de la sociedad, el CNEB se pone del lado de quienes sostienen el enfoque capitalista. Coloca a tal régimen social como una opción que las escuelas, maestras, maestros, etc., debemos asumir en forma obligatoria. Al contrario de quienes han redactado tal documento, y como se puede desprender de las críticas que hemos realizado, creemos que tal sistema ya no puede ser aceptado, dados los negativos efectos tangibles que tal modo de producción ha generado y genera en el mundo. Algún fariseo podría decir: "Pero todo esto es política. ¿Dónde queda el maestro, la educación, la escuela, los niños, etc.?" Respondemos que, precisamente, nada hay más político que el currículum. Quien pretenda ignorar dicho aspecto, flaco favor realiza a las trabajadoras y trabajadores de la educación. Por ello, es bueno recordar con Apple (1995, citado en Alvarez, 2012) que:

"(…) el curriculum nunca es una simple colección neutra de saberes, que se manifiesta de alguna manera en los textos y aulas de una nación. Forma parte siempre de una tradición selectiva, de la selección que hace alguien, de la visión que un grupo tiene del saber legítimo. Se produce a partir de conflictos, tensiones y compromisos culturales, políticos y económicos que organizan y desorganizan un pueblo" (p. 22).

Un último apunte: en la elaboración del CNEB no se practicó el democratismo, comprendido como la incorporación de las amplias masas de maestras y maestros (dirigentes, al fin y al cabo, del proceso docente educativo) al desarrollo curricular. Seguramente su redacción se encuentra comprometida con las intenciones del neoliberalismo internacional (personificado en instituciones monetarias sorprendentementededicadas al problema educativo), bajo procedimientos ampliamente detallados por Ramos (2012). En relación con lo descrito, Howson, Keitel & Kilpatrick (1981) brindaron una aguda observación que, lamentablemente, no ha perdido actualidad, treintaicinco años después:

Teachers may participate in the process of curriculum development, but they are usually treated more like guinea-pigs than partners (p. 64).

[Los maestros pueden participar en el proceso de desarrollo curricular, pero ellos son usualmente tratados más como conejillos de Indias que como socios] (traducción nuestra)

Nos atrevemos a creer que, quizás, una de las razones de los problemas continuamente detectados en la educación peruana estriba en que, quienes dirigen o han dirigido dicho sector, consideran a las maestras y maestros como seres incapaces de desarrollar teoría (currículum, etc.), como sujetos ignorantes de todo el cuadro social y económico en cuyo contexto desarrollan su labor, y como meros tornillos utilitarios que no necesitan saber más de lo que oficialmente pueda (o, quizás, quiera) proporcionárseles. De este modo, las y los trabajadores de la educación ni serán conscientes de la importancia de su tarea ni se sentirán dueños de la misma para transformar a las personas que la Patria les ha encomendado. Pero, detrás de esos importantes peligros, existe otro asunto no baladí y de profundo contenido gnoseológico.

3.    ¿Cómo se han considerado las tres fuentes teóricas del área en el CNEB?

3.1.             Importancia de la unidad teórico-práctica para los maestros de matemática

En la Antigua Grecia, la palabra que designaba a "verdad" (αληϑεια), significaba "lo que no está oculto", "lo no reservado" (Kursanov, 1977). Con relación a nuestro trabajo, si se trata de mostrar la verdadera ruta por la que maestras y maestros debemos transitar, ¿acaso no deberíamos dejar de conocer todo aquello que aún está "oculto", por ejemplo, detrás de  los fundamentos teórico-metodológicos descritos en el CNEB? La respuesta a la cuestión se vuelve más urgente si asumimos que la verdad es

"(…) un proceso de reflejo, en la conciencia del hombre, de la esencia inagotable del infinito mundo material y las leyes de su desarrollo, significando al mismo tiempo un proceso de creación del cuadro científico del mundo por el hombre, cuadro que aparece como resultado histórico-concreto del conocimiento en constante desarrollo sobre la base de la práctica histórico-social como su criterio objetivo superior" (Kursanov, 1977, p. 72).

A partir de la definición anterior se pueden realizar algunas inferencias, muy obvias hasta cierto punto:

-       Dado que el reflejo es un proceso activo, nadie puede pensar con cabeza ajena. Sin embargo, una persona sí puede ayudar a otra a reflejar la realidad mediante el pensamiento.

-       La verdad, al encontrarse relacionada con la visión científica del mundo, es superior a cualquier creencia o generalización empírica sobre él. Por ende, también es superior a cualquier "receta", "estrategia" o "experiencia" por más exitosa que esta fuese.

-       Finalmente, el enriquecimiento de la visión científica del mundo se realiza sobre el criterio de la práctica social. En el caso de la maestra o el maestro, en contacto con los alumnos y la sociedad. De este modo, se verifica la unidad teórico-práctica en el desarrollo del pensamiento humano.

Reflexividad, cientificidad y práctica social: he allí los rasgos que caracterizan a la verdad, al pensamiento verdadero. ¿Contribuye a cumplir estos criterios la forma en que son mostradas las teorías que fundamentan el área de matemática presente en el CNEB? Lo dudamos, puesto que el contexto social sobre el que se ha construido el documento curricular no favorece que las maestras y maestros conozcan a plenitud las armas teórico-prácticas que les pueden permitir llevar su trabajo hasta el fin.  

Antes de abordar el ámbito directamente relacionado con la pregunta recientemente planteada, es necesario indicar por qué el conocimiento teórico es importante en la enseñanza-aprendizaje de la matemática. Según Silver (1990):

Practitioners will want to consider the multiple ways in which research can positively influence their instructional thinking and actions, but it is equally important for researchers to consider and respond to problems and issues that are raised when practitioners apply research findings, methods, or theoretical perspectives. Moreover, it is important for researchers and practitioners to become collaborators in investigating issues of practical importance for the improvement of the teaching and learning of mathematics (p. 9).

[Quienes trabajan en la práctica esperarán tener en cuenta las múltiples formas en las cuales la investigación puede influir, positivamente, en sus ideas y acciones instruccionales, pero es igualmente importante para los investigadores tener en cuenta y responder los problemas que son generados cuando los prácticos aplican resultados de investigación, métodos o perspectivas teóricas. Además, es importante para investigadores y prácticos volverse colaboradores en la investigación de aquellos aspectos de importancia práctica para el desarrollo de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas] (traducción nuestra)

De este modo, el autor resalta la naturaleza bidireccional que existe entre la teoría y la práctica (es decir, entre investigadores y maestros), la misma que permite perfeccionar el campo de acción común. Se puede apreciar, entonces, el importante rol que juega el conocimiento de la teoría para un profesor de matemática, mucho más si este se convierte en investigador. Palabras similares se pueden decir del investigador que se vuelve maestro. No en balde Lenin afirmaba "de la percepción viva al pensamiento abstracto y de este a la práctica: tal es el camino dialéctico del conocimiento de la verdad, del conocimiento de la realidad objetiva" (Lenin, 1974, p. 163). Sin embargo, en nuestros días, tal ideal de unidad teórico-práctica permanece incumplido. Por ejemplo, Godino (2010) menciona el divorcio existente entre profesores e investigadores en Portugal, Francia y España. No es exagerado afirmar que una situación parecida se aprecia en nuestro país, donde existe un núcleo científico muy fuerte en Educación Matemática, que obligatoriamente necesita incrementar sus lazos con la riquísima experiencia de los maestros peruanos. Mientras tanto, por parte de los últimos, la labor cotidiana, así como las muchas necesidades irresueltas y planteadas por la vida económica, social y natural del país, les impiden tener acceso a las más sofisticadas y actuales tendencias investigativas. Dadas esas condiciones, no es difícil que la confusión teórica (y práctica) impere, lo que no contribuye al conocimiento verdadero de maestras y maestros, pues incrementa la receptividad y difusión facilista de todo género de "estrategias" o "experiencias didácticas" de relativo éxito. Una vez más se hace sentir la fuerza del capitalismo en la vida.

3.2.             La diversidad de teorías en Educación Matemática.

Por otra parte, una "grave dificultad" se registra al interior de la Educación Matemática (y empleo comillas porque, de este tipo de dificultades solo cabe alegrarse): en ella se registra un gran número de líneas de investigación. En relación con este hecho, Malaspina (2012) dice:

Una aclaración importante es que la formación en didáctica de las matemáticas no significa la adquisición de un conjunto de recetas para "enseñar bien" los contenidos matemáticos de un plan de estudios (…) La formación de los futuros profesores y la formación permanente de los profesores en ejercicio, debe incluir la reflexión profunda de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas a la luz de algunos de estos enfoques teóricos (…) (pp. 11 – 12)

Aun cuando la recomendación brindada por el destacado investigador peruano es importantísima, también es importante reconocer con Fandiño (2006) que:

No todos los resultados de la actividad de investigación, en cualquier campo, tienen directa y concreta influencia en la vida cotidiana: esto, en ocasiones, hace pensar lejana (al ciudadano común) la actividad de los investigadores (p. 80).

¿Cuáles son las características de las teorías de Educación Matemática que no permiten su aplicación directa en la práctica? Mucho tiene que ver la génesis y el alcance de cada una de ellas. Así pues, de acuerdo con Silver & Herbst (2007, citado en Jones & Herbst, 2012) las teorías en Educación Matemática podrían clasificarse por su "tamaño". De esta forma, podrían ser gran-teorías, teorías locales o teorías de mediano alcance. Muchos artículos de investigación, que constituyen venero de ideas para el profesor de aula, se ubican en la última clase, consistente en

(…) starts from an empirical phenomenon, rather than with broad organising concepts, and builds up abstract concepts from the phenomenon whilst accumulating knowledge about the phenomenon through empirical research (Jones & Herbst, 2012, p. 264).

[(…) iniciar a partir de un fenómeno empírico, con una organización amplia de conceptos, y construir conceptos abstractos a partir de aquel, mientras se acumula conocimiento sobre el fenómeno mediante la investigación empírica] (traducción nuestra)

También constituyen fuente de importantes ideas para la práctica aquellos aportes provenientes de las gran-teorías, como por ejemplo la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD) de Guy Brousseau, entre muchas otras. Pero no creemos oportuno buscar la veta práctica de dichas teorías, cualquiera sea su alcance, si no se las conoce a profundidad y si no se reflexiona suficientemente sobre los hechos que suscitan el empleo de aquellas. Para decirlo de una vez: no se puede descuidar la teoría en desmedro de la práctica, ni la práctica con menosprecio de la teoría.

Es necesario indicar además que, en la dinámica de las relaciones existentes entre la Educación Matemática y otras disciplinas desarrolladas en el seno de la escuela, correspondientes a los nexos entre particular y lo general (sin mencionar a los vínculos que existen entre la propia escuela y la sociedad, etc.), sostenemos que ningún trabajo de aula, ni en matemática o cualquier otra área, debería olvidar el sistema teórico más amplio que se ha creado en ciencias como pedagogía, didáctica o metodología (Alvarez de Zayas, 2002; Labarrere & Valdivia, 2002), obtenido a partir de la multisecular labor científica de muchos investigadores de las ciencias de la educación. De esta forma, por ejemplo, no se debería caer en el error de negar la importante tradición científico-pedagógica generada  en los antiguos (y actuales) países socialistas.

3.3.             Acerca de la forma en que son presentados los fundamentos teóricos del área de matemática en el CNEB

En la página 138 del programa curricular del nivel secundario, podemos leer lo siguiente, al referirse al área de matemática:

En esta área, el marco teórico y metodológico que orienta la enseñanza – aprendizaje corresponde al enfoque centrado en la Resolución de Problemas. Dicho enfoque se nutre de tres fuentes: La Teoría de Situaciones didácticas, la Educación matemática realista, y el enfoque de Resolución de Problemas (Perú, Ministerio de Educación, 2016b).

Palabras parecidas se pueden apreciar en el programa curricular del nivel inicial (Perú, Ministerio de Educación, 2016c, p. 89) y en el correspondiente al nivel primario (Perú, Ministerio de Educación, 2016d, p. 135). Es importante y digno de encomio fundamentar el desarrollo curricular en teorías de amplio espectro desarrollados en el seno de la Educación Matemática. Esto es mucho más necesario si se recuerda que, durante la infausta década neoliberal en América Latina, se dejó de lado el estatus científico de la Pedagogía y las otras ciencias de la Educación (Pérez, 2005).  Observemos los aspectos centrales de las teorías mencionadas en el CNEB y realicemos una breve análisis de la forma en que este documento curricular las presenta.

a) La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD)

El concepto de situación didáctica surgió en los años 60, donde, ante la presencia de textos que los estudiantes no podían comprender, el destacado investigador francés Guy Brousseau se dio a la tarea siguiente:

(…) to imagine conditions, situations, that could induce in the students the geneses of fundamental mathematical concepts, in a form and by processes comparable to those put into operation by mathematicians before the final presentation of their results, in the process mathematical development (…) (Brousseau & Warfield, 2014, p. 164).

[(…) imaginar condiciones o situaciones que podrían inducir en los estudiantes las génesis de los fundamentales conceptos matemáticos, en una forma tal y mediante procesos comparables a aquellos puestos en juego por los matemáticos antes de la presentación final de sus resultados, durante el proceso de desarrollo matemático (…)] (traducción nuestra)

De acuerdo con Brousseau & Warfield (2014), una situación didáctica es

(…) a project organised so as to cause one or some students to appropriate some piece of mathematical knowledge. (The organizer and the student may be individuals, a population, institutions, and so on.) (p. 163).

[(…) un proyecto organizado para generar que uno o más estudiantes se apropien de determinado sector de conocimiento matemático. (El organizador y el estudiante podrían ser individuos, una población, instituciones, y así sucesivamente.)] (traducción nuestra)

Compárense las dos citas anteriores, que contienen definiciones precisas, con lo indicado por los autores del CNEB:

En ese sentido, es fundamental entender las situaciones como acontecimientos significativos, dentro de los cuales se plantean problemas cuya resolución permite la emergencia de ideas matemáticas. Estas situaciones se dan en contextos, los cuales se definen como espacios de la vida y prácticas sociales culturales, pudiendo ser matemáticos y no matemáticos (Perú, Ministerio de Educación, 2016b).

Posteriormente ya no se vuelve a indicar nada relacionado con la definición de situación. Esta omisión es seria, pues existen tres tipos de situaciones:

·         Situación de devolución

Aquí el profesor plantea a los estudiantes

(…) to accept boldly and confidently the challenge of an engaging and instructive mathematical situation whose instructions he gives in advance: conditions, rules, goal, and above all the criterion for success (…) and to do it without his help, on their own responsibility (Brousseau 1997, citado en Brousseau & Warfield, 2014, p. 163)

[(…) aceptar audaz y confiablemente el desafío de un compromiso y una situación instructiva matemática, cuyas instrucciones él [el maestro.-LMMZ] da en forma adelantada: condiciones, reglas, objetivo y, sobre todo, los criterios para el éxito (…) y hacerlo sin su ayuda, bajo su propia [del alumno.-LMMZ] responsabilidad] (traducción nuestra)

·         Situación matemática

En este tipo de situación, los estudiantes resuelven autónomamente tareas, en formas tales como las empleadas por los matemáticos, con las siguientes características:

(…) Producing "new" statements and discussing their validity (…) Making decisions, formulating hypotheses, predicting and judging their consequences, attempting to communicate information, producing and organizing models, arguments and proofs, etc., adequate for certain precise projects (…) and evaluating and correcting by themselves the consequences of their choices (Brousseau 1997, citado en Brousseau & Warfield, 2014, p. 163)

[(…) Producir "nuevas" proposiciones y discutir su validez (…) Tomar decisiones, formular hipótesis, predecir y juzgar sus consecuencias, intentar comunicar información, producir y organizar modelos, argumentos y demostraciones, etc., adecuados para ciertos proyectos definidos (…) y evaluar y corregir por ellos mismos las consecuencias de sus elecciones.] (traducción propia)

·         Situación de institucionalización

En esta situación el estudiante:

(…) Takes note of the progress of the mathematical situation, of the questions and answers that have been obtained or studied from it, and of those that have emerged, and places them within the perspective of the curriculum (…) Distinguishes among the pieces of knowledge (…) that have appeared those that have revealed themselves to be false and those that are correct, and among the latter those that will serve as references (…) And draws conclusions for the organization of further sequences (exercises, problems, etc.) (Brousseau 1997, citado en Brousseau & Warfield, 2014, p. 163).

[(…) Toma nota del progreso de la situación matemática, de las preguntas y respuestas que han sido obtenidas o estudiadas a partir de aquella y que han emergido, así como ponerlas dentro de la perspectiva curricular (…) Distingue entre los sectores del conocimiento (…) que han aparecido aquellos que se han revelado ellos mismos como falsos y aquellos que son correctos y, entre los últimos, aquellos que servirán como referencias (…) Extrae conclusiones para la organización de secuencias más lejanas (ejercicios, problemas, etc.)] (traducción propia)

Cada proceso didáctico –indican los autores del artículo- es una secuencia de situaciones, pertinentes a uno de los tipos anteriormente descritos. El trabajo de Guy Brousseau y colaboradores es muy importante porque la teoría de situaciones constituye una de los más ambiciosas proyectos que se han elaborado sobre lo que dichos investigadores denominan didactique. En especial, la organización de las situaciones matemáticas considera aspectos antropológicos y semiológicos para el estudio de prácticas y concepciones de estudiantes y maestros; los experimentos relacionados con las situaciones matemáticas y

(…)The inventory of possible choices, their modeling in the form of situations, the experimental and theoretical study of their conditions and of their properties, and the creation of appropriate instruments of analysis (theory of didactical situations) (Brousseau & Warfield, 2014, p. 165).

[(…) La relación de posibles elecciones, su modelado en la forma de situaciones, la investigación experimental y teórica de sus condiciones y propiedades, así como la creación de apropiados instrumentos de análisis (teoría de situaciones didácticas)] (traducción nuestra)

Por primera vez en todo el texto se menciona explícitamente a la teoría de las situaciones didácticas pero en una forma tal que, más que una estrategia desarrollada para el aula, se trata de algo propio de la investigación científica en Educación Matemática. De ahí la preocupación de la TSD por un examen circunstanciado del conocimiento que va a ser enseñado, su desarrollo histórico y sus propiedades epistemológicas (Brousseau & Warfield, 2014), dimensión muy importante para el trabajo de maestras y maestros, relacionada con el principio didáctico de cientificidad (Labarrere & Valdivia, 2002). Sigamos leyendo:

But well before being able to offer teachers, in the name of mathematicians, an aid, or some ready-to-implement solutions for teaching mathematics, didactique must describe, understand, and explain in a scientific manner mathematical activity and its possible didactical transpositions (Brousseau & Warfield, 2014, p. 165).

[Pero, antes de ser capaz de ofrecer a los maestros, en el nombre de los matemáticos, una ayuda, o bien algunas soluciones-listas-para implementar, didactique debe describir, comprender y explicar, en forma científica, la actividad matemática y sus posibles transposiciones didácticas] (traducción nuestra)

En el enfoque del área de matemática indicado por el CNEB no se indica cuáles son las situaciones consideradas en la TSD, ni cómo se las pondrá en juego. Tampoco se explican otros conceptos de dicha teoría, como los de contrato didáctico, transposición didáctica, savoir (saber) o milieu (aproximadamente traducido como entorno), para los que remitimos al lector al artículo de Brousseau & Warfield (2014) o a las obras fundamentales de Guy Brousseau, disponibles en internet y en su propia página web. Sería muy adecuado poner a disposición del Magisterio el acervo fundamental de dicha teoría, así como las investigaciones y desarrollo alcanzado por esta en los últimos años.

Hay un aspecto que queremos resaltar, a partir de la afirmación de Hersant & Perrin-Glorian (2005):

(…) But, as emphasized by Herbst and Kilpatrick (1999), TDS does not provide the teacher with a model of "good practice", nor keys to improve his practice. It is mainly a tool for analyzing teaching:

(. . .) Therefore, although the notion of didactic contract may help the teacher understand his or her practice, it's not a technical tool for acting on that practice. Instead, it is a technical tool enabling the researcher to study practice. (Herbst and Kilpatrick, 1999) (p. 116).

[(…) Pero, como es enfatizado por Herbst y Kilpatrick (1999), TSD no prove al maestro con un modelo de "buena práctica", ni las claves para mejorar su práctica. TSD es, principalmente, una herramienta para analizar la enseñanza:

(…) Por lo tanto, aunque la noción de contrato didáctico podría ayudar al maestro a comprender su práctica, no es una herramienta técnica para actuar en dicha práctica. En cambio, es una herramienta técnica que habilita al investigador para estudiar la práctica] (traducción nuestra)

Si destacados investigadores afirman con seriedad lo anterior acerca de la TSD y un concepto clave de dicha teoría, entonces ¿en qué sentido los redactores del CNEB consideran a aquella como fundamento teórico (y metodológico) del currículo? Entiéndase bien nuestra pregunta: lejos de indicar la inutilidad del enfoque teórico mencionado, inquirimos por lo que la TSD le da a los docentes del país. Si es para la investigación, pues ¡adelante! Si es para profundizar en el conocimiento matemático, ¡enhorabuena! Pero no se deberían presentar retazos de la teoría ni hacer creer que las fases que Brousseau (2002) presenta para analizar ciertas situaciones (instrucción, acción, formulación y validación), corresponden a las etapas que un docente debería desarrollar en sus clases, como parecen sugerirlo las todavía vigentes Rutas del Aprendizaje – 2015, a tenor de lo intercambiado en nuestros diálogos con algunas maestras y maestros.

De esta manera, podemos indicar que la forma en que se presenta la TSD en el CNEB no constituye reflejo exacto de la mencionada teoría ni colaboraría en la formación de tal tipo de reflejo en los maestros. Tal factor no ayudaría en la construcción del panorama científico por parte de ellos y no permitiría a trabajadoras y trabajadores de la educación enriquecer la teoría con su valiosa práctica. En conclusión, a partir de lo anterior, difícilmente las y los maestros arribarían a un conocimiento verdadero acerca de la teoría mencionada y tampoco podrían desarrollarlo.

b) La Educación Matemática Realista (EMR)

De acuerdo con Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers (2014), la EMR es una teoría de la instrucción en matemática. El adjetivo "realista", empero, no debe ser entendido en forma superficial o bajo la guía del "sentido común". Los autores mencionados indican:

Although "realistic" situations in the meaning of "real-world" situations are important in RME, "realistic" has a broader connotation here. It means students are offered problem situations which they can imagine. This interpretation of "realistic" traces back to the Dutch expression "zich REALISEren," meaning "to imagine." It is this emphasis on making something real in your mind that gave RME its name. Therefore, in RME, problems presented to students can come from the real world but also from the fantasy world of fairy tales, or the formal world of mathematics, as long as the problems are experientially real in the student's mind (p. 521).

[Aunque las situaciones "realistas" – en el sentido de situaciones tomadas del "mundo real" - son importantes para la EMR, "realista" tiene una connotación más amplia aquí. Significa que a los estudiantes les son ofrecidas situaciones problemáticas que ellos pueden imaginar. Esta interpretación de "realista" tiene sus orígenes en la expresión holandesa "zich REALISEren", que significa "imaginar". Es este énfasis en hacer algo real en la mente lo que dio a la EMR su nombre. Además, en EMR, los problemas presentados a los estudiantes pueden venir del mundo real pero también del mundo de la fantasía, de cuentos de hadas, o del mundo de las matemáticas, tanto como los problemas sean experimentalmente reales en la mente de los estudiantes] (traducción nuestra)

A partir de la cita anterior surge la siguiente cuestión: ¿por qué no se explica a las maestras y maestros que la EMR no solo tiene que ver con el contexto real, sino también con la imaginación (como se muestra en la raíz etimológica)? Hay más: no solo el concepto realista ha sufrido un recorte. Algo similar se puede afirmar de otros elementos de la EMR, como por ejemplo el de matematización. En las Rutas de Aprendizaje de la Matemática – 2015 (todavía vigentes) se indica acerca de la matematización:

Es la capacidad de expresar un problema, reconocido en una situación, en un modelo matemático. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo a la situación que le dio origen (Perú, Ministerio de Educación, 2015, p. 29)

Dentro de la EMR, el concepto de matematización se encuentra muy vinculado al abundante y valioso trabajo de Hans Freudenthal, quien consideraba que la matemática era una actividad humana y que debería ser aprendida como una matematización de la realidad (Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014). Posteriormente, el destacado matemático y didacta distinguió dos tipos de matematización:

In horizontal mathematization, the students use mathematical tools to organize and solve problems situated in real-life situations. It involves going from the world of life into that of symbols. Vertical mathematization refers to the process of reorganization within the mathematical system resulting in shortcuts by using connections between concepts and strategies. It concerns moving within the abstract world of symbols. The two forms of mathematization are closely related and are considered of equal value. Just stressing RME's "real-world" perspective too much may lead to neglecting vertical mathematization (Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014, p. 522).

[En la matematización horizontal los estudiantes emplean herramientas matemáticas para organizar y resolver problemas ubicados en situaciones de la vida real. Dicho proceso va desde esta hacia  el mundo de los símbolos. La matematización vertical se refiere al proceso de reorganización dentro del sistema matemático, que resulta en atajos, mediante el empleo de conexiones entre conceptos y estrategias. Este segundo proceso se ocupa del movimiento dentro del mundo abstracto de los símbolos. Las dos formas de matematización se encuentran cercanamente relacionadas y son consideradas de igual valor. Enfatizar demasiado en la perspectiva del "mundo real" por parte de la EMR puede conducir al descuido de la matematización vertical] (traducción nuestra). 

Aunque el concepto de matematización no aparece de forma explícita en el actual CNEB, si se menciona la modelación como una de las capacidades a desarrollar. Los numerosos trabajos de Ana Bressan, María Fernando Gallego y otros investigadores en nuestro continente (en especial, Bressan & Gallego, 2010), en la línea de la EMR, muestran el vínculo existente entre el proceso de matematización y la elaboración de modelos. Ante ello, ¿se ha explicado a los maestros en qué consiste la matematización horizontal y vertical o, como ha venido ocurriendo en algunas jornadas magisteriales ("capacitaciones"), se ha hipertrofiado el rol de las situaciones de la vida cotidiana en el proceso matematizador? Si se trata de asumir explícitamente la EMR como una de las fuentes sobre las que se ha elaborado el actual CNEB, ¿se han explicado, por ejemplo, los principios de la enseñanza postulados por tal escuela teórica (Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014)?

Sin embargo, las cuestiones que acabamos de plantear solo pueden ser respondidas a partir de la investigación. Dado que las críticas dirigidas a la forma en que la EMR es mostrada en el CNEB son similares a las que presentamos cuando se abordó la TSD, no creemos, una vez más, que el reflejo inexacto de la EMR permita a maestras y maestros conocer verazmente la mencionada teoría, desarrollar el panorama científico y, mucho menos, enriquecer teoría y práctica. Así, la ruta hacia el conocimiento verdadero se encontraría bloqueada.

c) El enfoque de Resolución de Problemas

El programa curricular del nivel secundario, en el área de matemática, indica:

Por otro lado, la Resolución de problemas es entendida como el dar solución a retos, desafíos, dificultades u obstáculos para los cuales no se conoce de antemano las estrategias o caminos de solución, y llevar a cabo procesos de resolución y organización de los conocimientos matemáticos (Perú, Ministerio de Educación, 2016b, p. 138).

Dado que la resolución de problemas es la tercera de las fuentes teóricas asumidas por el CNEB, no es incoherente comparar tal caracterización con la definición brindada por Santos-Trigo (2014):

Mathematical problem solving is a research and practice domain in mathematics education that fosters an inquisitive approach to develop and comprehend mathematical knowledge (…). As a research domain, the problem-solving agenda includes analyzing cognitive, social, and affective components that influence and shape the learners' development of problem-solving proficiency. As an instructional approach, the agenda includes the design and implementation of curriculum proposals and corresponding materials that enhance problem-solving activities (p. 496).

[La resolución de problemas matemáticos es un campo de investigación y de práctica en Educación Matemática, que fomenta un enfoque inquisitivo para desarrollar y comprender el conocimiento matemático (…) Como campo de investigación, la agenda en la resolución de problemas incluye analizar los componentes cognitivos, sociales y afectivos que influencian y dan forma al desarrollo en la competencia de solución de problemas por parte de los estudiantes. Como enfoque instruccional, la agenda incluye el diseño y la implementación de propuestas curriculares y los correspondientes materiales que implementen las actividades de resolución de problemas] (traducción nuestra)

Como puede observarse, la caracterización brindada por Santos-Trigo (2014) es más exhaustiva y precisa que la proporcionada en el CNEB. Más aún: tras indicar que la actividad de resolución de problemas varía de acuerdo al nivel educativo, los objetivos, los conocimientos de los estudiantes, etc. y después de mostrar el desarrollo teórico-práctico alcanzado en los últimos 40 años (cuyos hitos más saltantes se encuentran en los trabajos de George Polya, Alan Schoenfeld y otros investigadores en diferentes partes del mundo, así como la incorporación de la tecnología), Santos-Trigo (2014) señala:

In retrospective, research in problem solving has generated not only interesting ideas and useful results to frame and discuss paths for students to develop mathematical knowledge and problem-solving proficiency; it has also generated ways to incorporate this approach into the design of curriculum proposals and instructional approaches. However, it is not clear how teachers implement and assess their students' development of problem-solving competences. In this context, teachers, together with researchers, need to be engaged in problem solving experiences where all have an opportunity to discuss and design problem-solving activities and ways to implement and evaluate them in actual classroom settings (p. 500).

[En retrospectiva, la investigación en la resolución de problemas ha generado no solo interesantes ideas y útiles resultados para formar y discutir vías en el desarrollo del conocimiento matemático y de la competencia de resolución de problemas de los estudiantes. También ha generado vías para incorporar este enfoque en el diseño de propuestas curriculares e instruccionales. Sin embargo, no está claro cómo los profesores implementan y evalúan el desarrollo de sus estudiantes en las competencias de resolución de problemas. En este contexto, los profesores, junto a los investigadores, necesitan comprometerse en experiencias de resolución de problemas donde todos tengan una oportunidad para discutir y diseñar dichas actividades, así como formas de implementarlas y evaluarlas durante el trabajo de aula] (traducción nuestra).

Obsérvese una vez más cómo se insiste en la íntima relación que investigadores y maestros deben tener y a la que aludía la cita de Silver (1990) que abordamos al inicio del apartado 3. Tal unión debe cubrir el espacio que no se menciona en el CNEB acerca de los métodos para el desarrollo de la actividad de resolución de problemas en el aula. Interesantes experiencias al respecto en Holanda (bajo la influencia de la EMR) o en China son mencionadas por Santos-Trigo (2014). Pero, una vez más, el CNEB no refleja ni permitiría reflejar correctamente a sus lectores el contenido de la Resolución de Problemas, con lo que les impediría incrementar su panorama científico con su práctica diaria. Mientras tanto, el conocimiento verdadero pasa de largo por la puerta de las escuelas peruanas, con todo el caudal de importante desarrollo teóricos que la Resolución de Problemas ha tenido y tiene en los últimos tiempos. Por ejemplo, hoy cobra fuerza una nueva línea investigativa: el planteo de problemas. Para el lector interesado, recomendamos la obra de Singer, Ellerton & Cai (2015), así como los valiosos trabajos del profesor Uldarico Malaspina (2015, en especial, pero con una vastísima producción) y sus discípulos Jorge Cárdenas (2015) y Carlos Torres (en prensa).

Tras haber observado la forma en que han sido presentadas las teorías en el CNEB, es necesario concluir que existen vacíos que deben ser urgentemente llenados en aras de cualificar el trabajo de maestras y maestros. Aunque, coherentemente con las ideas del régimen social que defienden los autores del documento, no debería extrañar el instrumentalismo con que se trata al magisterio. Quizás, como medida paliativa, se divulgue algún fascículo con los conceptos clave de cada uno de los fundamentos teóricos del área, pero ello morirá en medio de las numerosas tareas administrativas y de aseguramiento vital que deben cumplir las y los trabajadores de la educación. A estos no se les pide ni el reflejo de las teorías en su pensamiento, ni el desarrollo científico, ni mucho menos enriquecimiento práctico: solo se les quiere como aplicadores ciegos de palabras ajenas que no terminaron de hacer suyas. Esta es, a fin de cuentas, una grave consecuencia gnoseológica del instrumentalismo capitalista.

            Para terminar con el apartado 3, queremos dejar abierta una cuestión que hasta el momento no hemos podido resolver: ¿por qué, cómo y quiénes eligieron las tres teorías ya mencionadas como fundamento del CNEB, cuando también existen muchas otras? Por ejemplo, está presente en el nuevo documento curricular la línea teórica – investigativa de razonamiento y justificación, la cual presenta y define conceptos como conjetura, demostración, argumentación, justificación, etc., conceptos que el CNEB considera, pero no esclarece. Ni siquiera las Rutas de aprendizaje de la matemática – 2015 cumplen con tal objetivo, en tanto que existen importantes trabajos en nuestro país, tales como los de Vallejo (2012) y Ordóñez (2014) que se pueden y deben aprovechar.

 

 

4.    Conclusiones y recomendaciones

Luego del breve examen realizado, arribamos a las siguientes conclusiones acerca de la cuestión planteada al inicio del presente ensayo:

a) La forma en que el CNEB muestra las teorías que fundamentan el área de matemática no refleja exactamente la esencia de aquellas. Definiciones recortadas, conceptos que no son explicados o malinterpretados, selecciones teóricas injustificadas, etc., no favorecen el trabajo docente, mas bien lo entorpecen.

b) Al no reflejar con precisión la esencia de las teorías de Educación Matemática, el CNEB tampoco favorecería el conocimiento verdadero, científico, de las maestras y maestros del área, pues no permitiría ni el reflejo de los conceptos clave, ni el desarrollo científico-práctico de estos.

c) Creemos que la caracterización realizada acerca de los fundamentos teóricos del área, presentes en el CNEB, se origina a partir de una orientación instrumentalista acerca de maestras y maestros, la misma que proviene, a su vez, de las bases sociales y políticas capitalistas que propugna el documento curricular.

Habrá quien sostenga que, mas bien, la forma en que el CNEB ha sido presentado podría estimular la búsqueda de conocimientos por parte de sus lectores. Si tal fenómeno ocurre, es muy posible que suceda en forma aislada. En todo caso, el irrespeto con el que se presentan las inexactitudes teóricas no es saludable, como tampoco lo son los rasgos de la sociedad capitalista que se desea profundizar en los niños y adolescentes que estudian en la escuela peruana. Por ello, como recomendación obtenida a partir de nuestro análisis, sostenemos la necesidad de trascender de lo académico hacia lo político. Dicha apreciación se basa en que, dada la amplísima producción científica con que cuenta la Educación Matemática en todo el mundo (sin contar las interesantes experiencias que maestras y maestros peruanos han desarrollado en las escuelas andinas, selváticas o costeñas), resulta imposible para una sola persona desarrollar investigación en el aula bajo la guía de los más sofisticados conceptos producidos por los científicos. Esta tarea, sin embargo, es perfectamente alcanzable bajo una organización social y estatal que practique una constante línea de masas con las y los trabajadores de la educación, que masifique la investigación educacional bajo sistema de ciclo completo (I + D + I), y que vincule la investigación educativa (en la que investigar en Educación Matemática constituye un sector entre muchos otros) con los sistemas magisteriales de formación inicial y continua. Estas son las características presentes en sistemas educacionales que florecieron (o florecen) para ponerse al servicio de las personas, en  un modo de producción distinto y superior al capitalismo, a saber: el socialismo. Sostenemos que cualquier progreso que nuestro país quiera alcanzar en la Educación Matemática, en la Educación en general y en cualquier otro ámbito de la vida nacional, debe encontrarse orientado hacia dicho ideal. No queda otra salida. 

 

5.    Referencias

Alvarez, C. (2012). Los principios de procedimiento en el diseño curricular: clave de mejora de las relaciones teoría-práctica en educación. Revista Iberoamericana sobre Calidad, Eficacia y Cambio en Educación, 10, 4, pp. 21 – 36. Recuperado de http://www.rinace.net/reice/numeros/arts/vol10num4/art2.pdf

Alvarez de Zayas, C. (2002). Didáctica general (La escuela en la vida). Cochabamba: Kipus.

Bressan, A. & Gallego, M. (2010). El processo de matematización de progresiva en el tratamiento de patrones. Correo del Maestro, 168, pp. 5 – 21.

Brousseau, G. (2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics: Didactique des Mathématiques, 1970 – 1990. New York: Kluwer.

Brousseau, G. & Warfield, V. (2014). Didactic Situations in Mathematics Education. En Lerman S. (Ed.). Encyclopedia of Mathematics Education, pp. 163 – 170. Dordrecht: Springer Science+Business Media.

Cárdenas, J. (2015). Análisis de problemas de adición, sustracción y multiplicación de expresiones decimales, creados por estudiantes del 6º grado de primaria en una experiencia didáctica. (Tesis de maestría en Educación Matemática).Pontificia Universidad Católica del Perú, Lima, Perú.

CIEM (2004). Economía basada en el Conocimiento: Una primera aproximación. La Habana: s. e. 

Fandiño, M. (2006). Currículo, evaluación y formación docente en matemática. Bogotá: Magisterio.

Godino, J. (2010). Perspectiva de la didáctica de las matemáticas como disciplina tecnocientífica. Disponible en  http://www.ugr.es/local/jgodino.

Hersant, M. & Perrin-Glorian, M.-J. (2005). Characterization of an ordinary teaching practice with the help of the Theory of Didactic Situations. Educational Studies in Mathematics, 59, pp. 113 – 151. DOI: 10.1007/s10649-005-2183-z

Howson, G., Keitel, C. & Kilpatrick, J. (1981). Curriculum development in mathematics. Nueva York: Cambridge University.

Jones, K. & Herbst, P. (2012). Proof, Proving, and Teacher-Student Interactions: Theories and Contexts. En Hanna, G. & de Villiers, M. (Eds.). Proof and Proving in Mathematics Education, pp. 261 – 277. DOI 10.1007/978-94-007-2129-6_11

Kursanov, G. (1977). Veritas: fundamentos de la teoría leninista de la verdad y crítica de las concepciones idealistas modernas. Moscú: Progreso.

Labarrere, G. & Valdivia, G. (2002). Pedagogía. La Habana: Pueblo y Educación.

Lenin, V. I. (1974). Cuadernos filosóficos. Buenos Aires: Estudio.

Malaspina, U. (2012). Enseñanza de las Matemáticas en la Educación Básica: Retos y Perspectivas. En Didáctica de las Matemáticas: Avances y Desafíos Actuales en la Educación Básica Regular, pp. 7 – 31. Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú – Departamento de Ciencias.

Malaspina, U. (2015). Creación de problemas: sus potencialidades en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. XIV Conferencia Interamericana de Educación Matemática (CIAEM).

Ordóñez, C. (2014). La construcción de la noción de división y divisibilidad de números naturales, mediada por justificaciones, en alumnos de tercer grado de primaria. (Tesis de maestría en Educación Matemática).Pontificia Universidad Católica del Perú, Lima, Perú.

Pérez, F. (2005). La educación latinoamericana: retos y confirmaciones. La Habana: Política.

Perú, Ministerio de Educación (2015). Rutas del aprendizaje de la matemática, versión 2015. Lima: Autor.

Perú, Ministerio de Educación (2016a). Currículo Nacional de la Educación Básica. Lima: Autor.

Perú, Ministerio de Educación (2016b). Programa curricular de Educación Secundaria. Lima: Autor.

Perú, Ministerio de Educación (2016c). Programa curricular de Educación Inicial. Lima: Autor.

Perú, Ministerio de Educación (2016d). Programa curricular de Educación Primaria. Lima: Autor.

Ramos, R. (2012). La educación en América Latina. Enfoque desde la institucionalidad del orden mundial capitalista. Saarbrücken: Académica española.

Santos-Trigo, M. (2014). Problem Solving in Mathematics Education. En Lerman S. (Ed.).Encyclopedia of Mathematics Education, pp. 496 – 501. Dordrecht: Springer Science+Business Media.

Silver, E. (1990). Contributions of Research to Practice: Applying Findings, Methods and Perspectives. En Cooney, T. & Hirsch, C. (Eds.). Teaching and Learning Mathematics in the 1990s, pp. 1 – 11. S. c.: National Council of Teachers of Mathematics. 

Singer, F., Ellerton, N. & Cai, J. (2015). Mathematical Problem Posing: From Research to Effective Practice. New York: Springer Science+Business Media.

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